《最短路径问题》轴对称PPT下载

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第一部分内容：学习目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）

体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）

新课导入

1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？

为什么？

②最短，因为两点之间，线段最短

2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？

PC最短，因为垂线段最短

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最短路径问题PPT，第二部分内容：知识讲解

1、牧马人饮马问题

“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.

现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.

如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.

问题1    现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

连接AB,与直线 l 相交于一点C.

根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.

问题2    如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？

想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 

利用轴对称，作出点B关于直线l 的对称点B′.

总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.

2、造桥选址问题

如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？

如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？

思考

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？

什么图形变换能帮助我们呢？

解决问题

如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.

理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.

由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.

AM+MN+BN 转化为AA １ ＋ A１B，而A M１ ＋ M１ N１ ＋BN１ 转化为AA １ ＋A１N１＋BN１.

在△A１N１B 中，因为A1N1+BN1＞A1B.

因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.

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最短路径问题PPT，第三部分内容：随堂训练

1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（    ）

2、如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ 　）

A．10              B．15

C．20              D．30 

3、如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是1000米.

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最短路径问题PPT，第四部分内容：课堂小结

最短路径问题

原理

线段公理和垂线段最短

牧马人饮马问题

解题方法

轴对称知识+线段公理

造桥选址问题

解题方法

关键是将固定线段“桥”平移

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